यदि 21 से 199 तक की सभी सम संख्याओं का योग उन 11 प्रेक्षणों में जोड़ दिया जाए जिनका माध्य मान n है, तो नए समुच्चय का माध्य मान 99 हो जाता है। n का मान ज्ञात कीजिए।

दिया गया है:

21 से 199 तक की सम संख्याओं का योग 11 प्रेक्षणों में जोड़ा जाता है जिनका माध्य मान n है।

संख्याओं के नए समुच्चय का माध्य = 99

प्रयुक्त सूत्र:

(1) समान्तर श्रेणी में n संख्याओं का योग

S = \(\frac{n(a+l)}{2}\)

जहाँ,

a, पहले पद का मान है।

l, अंतिम पद का मान है।

n, पदों की संख्या है।

S, समान्तर श्रेणी में n संख्याओं का योग है।

(2) समान्तर श्रेणी में अंतिम पद का मान

l = a + (n - 1)d

जहाँ,

a, पहले पद का मान है।

d, दो पदों के बीच सार्वांतर है।

n, पदों की संख्या है।

l, अंतिम पद का मान है।

गणना:

माना n, 21 से 199 के बीच सम पदों की संख्या है।

पहली सम संख्या का मान (21 से 199 के बीच), a = 22

अंतिम सम संख्या का मान (21 से 199 के बीच), l = 198

दो सम संख्याओं के बीच सार्वांतर का मान, d = 2

अब,

⇒ 198 = 22 + (n - 1) × 2

⇒ 198 = 22 + (n - 1)2

⇒ 176 = (n - 1)2

⇒ (n - 1) = 88

⇒ n = 89

अब,

माना S, 21 से 199 के बीच की सभी सम संख्याओं का योग है।

⇒ S = \(\frac{89(22 + 198)}{2}\)

⇒ S = 9790

अब,

11 प्रेक्षणों का औसत = n

सभी 11 प्रेक्षणों का योग = 11n

प्रश्न के अनुसार,

⇒ \(\frac{9790+11n}{89+11}\) = 99

⇒ \(\frac{9790+11n}{100}\) = 99

⇒ 9790 + 11n = 9900

⇒ 11n = 110

⇒ n = 10

∴ अभीष्ट उत्तर 10 है।

Additional Informationपहला और अंतिम पद ज्ञात होने पर संख्याओं का औसत ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग किया जाता है।

A = \(\frac{a+l}{2}\)

जहाँ,

a, समान्तर श्रेणी का पहला पद है।

l, समान्तर श्रेणी का अंतिम पद है।

A, a से l तक समान्तर श्रेणी का माध्य है।

टिप्पणी: उपरोक्त सूत्र केवल समान्तर श्रेणी के लिए लागू है।

यदि क्रमागत पदों में सार्वांतर शून्येतर नियतांक हो, तो उस अनुक्रम को समान्तर अनुक्रम कहा जा सकता है।