यदि \( \tan \theta = \frac{7}{8} \) है, तो \(\frac{(1 + \sin \theta)(1 - \sin \theta)}{(1 + \cos \theta)(1 - \cos \theta)(\cot \theta)}\) का मान ज्ञात कीजिए।

दिया गया है:

\(\tan\theta = \frac{7}{8}\)

ज्ञात करने के लिए व्यंजक: \(\dfrac{(1 + \sin\theta)(1 - \sin\theta)}{(1 + \cos\theta)(1 - \cos\theta)(\cot\theta)}\)

प्रयुक्त सूत्र:

1. (a + b)(a - b) = a² - b²

2. \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)

⇒ \(1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta\)

⇒ \(1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta\)

3. \(\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}\)

4. \(\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}\)

गणना:

अंश को सरल कीजिए:

अंश = \((1 + \sin\theta)(1 - \sin\theta)\)

⇒ अंश = \(1^2 - \sin^2\theta\)

⇒ अंश = \(1 - \sin^2\theta\)

⇒ अंश = \(\cos^2\theta\)

हर को सरल कीजिए:

हर = \((1 + \cos\theta)(1 - \cos\theta)(\cot\theta)\)

⇒ हर = \((1^2 - \cos^2\theta)(\cot\theta)\)

⇒ हर = \((1 - \cos^2\theta)(\cot\theta)\)

⇒ हर = \(\sin^2\theta \times \cot\theta\)

\(\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}\) प्रतिस्थापित कीजिए:

⇒ हर = \(\sin^2\theta \times \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}\)

⇒ हर = \(\sin\theta \cos\theta\)

अब, सरलीकृत अंश और हर को व्यंजक में प्रतिस्थापित कीजिए:

व्यंजक = \(\dfrac{\cos^2\theta}{\sin\theta \cos\theta}\)

अंश और हर से \(\cos\theta\) को काट दीजिए:

⇒ व्यंजक = \(\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}\)

⇒ व्यंजक = \(\cot\theta\)

दिया गया है \(\tan\theta = \dfrac{7}{8}\).

चूँकि \(\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}\):

⇒ व्यंजक = \(\dfrac{1}{\frac{7}{8}}\)

⇒ व्यंजक = \(\dfrac{8}{7}\)

इसलिए, व्यंजक का मान \(\dfrac{8}{7}\) है।