यदि n एक प्राकृत संख्या है, तो 9²ⁿ - 4²ⁿ हमेशा किससे विभाज्य है?

दिया गया है:

यदि n एक प्राकृत संख्या है, तो 9²ⁿ - 4²ⁿ हमेशा किससे विभाज्य है:

विकल्प:

1) 5

2) 13

3) दोनों (A) और (B)

4) न तो (A) और न ही (B)

प्रयुक्त सूत्र:

विभाज्यता नियमों के लिए, हम जाँचते हैं कि क्या व्यंजक दी गई संख्याओं के लिए मापांकित शर्तों को पूरा करता है।

9² ≡ -3 (mod 5), 4² ≡ 2 (mod 5)

9² ≡ 1 (mod 13), 4² ≡ 3 (mod 13)

गणनाएँ:

चरण 1: मॉड्यूलो 5 जाँच

9²ⁿ ≡ (-3)ⁿ (mod 5), 4²ⁿ ≡ 2ⁿ (mod 5)

⇒ 9²ⁿ - 4²ⁿ ≡ (-3)ⁿ - 2ⁿ (mod 5)

सभी n के लिए, (-3)ⁿ ≡ 2ⁿ (mod 5), इसलिए 5 से विभाज्य है।

चरण 2: मॉड्यूलो 13 जाँच करते हैं

9²ⁿ ≡ 1ⁿ (mod 13), 4²ⁿ ≡ 3ⁿ (mod 13)

⇒ 9²ⁿ - 4²ⁿ ≡ 1ⁿ - 3ⁿ (mod 13)

सभी n के लिए, 1ⁿ - 3ⁿ ≡ 0 (mod 13), इसलिए 13 से विभाज्य है।

चरण 3: परिणामों को मिलाते हैं 

चूँकि 9²ⁿ - 4²ⁿ 5 और 13 दोनों से विभाज्य है, यह दोनों से विभाज्य है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प (3) है।