यदि \( \mathop a\limits^ \to \) , \(\mathop b\limits^ \to \) और \(\mathop c\limits^ \to \) इस तरह से तीन सदिश हैं कि \(\mathop a\limits^ \to +\mathop b\limits^ \to + \mathop c\limits^ \to = \mathop 0\limits^ \to \) और \(|\mathop a\limits^ \to | = 1, |\mathop b\limits^ \to | = 4, |\mathop c\limits^ \to | = 2\)  फिर \(2(\mathop a\limits^ \to.\mathop b\limits^ \to + \mathop b\limits^ \to.\mathop c\limits^ \to+\mathop c\limits^ \to.\mathop a\limits^ \to)\) के बराबर क्या है?

संकल्पना:

दो सदिश a और b के बिंदु गुणनफल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\(a.b = |a|.|b|cos \ \theta \)

जहाँ θ सदिश a और b के बीच का कोण है।

दो सदिशों केबिंदु गुणनफल के कुछ गुण इस प्रकार हैं:

• a.b = b.a (क्रमचयी)

• a.(b + c) = a.b + a.c (वितरक)

दिया गया:

\(\mathop a\limits^ \to +\mathop b\limits^ \to + \mathop c\limits^ \to = \mathop 0\limits^ \to \) ,

\(|\mathop a\limits^ \to | = 1, |\mathop b\limits^ \to | = 4, |\mathop c\limits^ \to | = 2\)

गणना:

हमारे पास \(\vec{a}^{2}=1, \vec{b}^{2}=16,\vec{c}^{2}=4 \)

\(\therefore (\vec{a}\ +\ \vec{b}\ + \vec{c} )\cdot (\vec{a}\ +\ \vec{b}\ + \vec{c} )=0\)

\(\Rightarrow \vec{a}^2 + \vec{a}.\vec{b}\ + \vec{a}.\vec{c}\ + \vec{b}.\vec{a}\ + \vec{b}^2 \ + \vec{b}.\vec{c}\ + \vec{c}.\vec{a}\ + \vec{c}.\vec{b}\ + \vec{c}^2 = 0\)

\(\Rightarrow \vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 + 2(\vec{a}.\vec{b}\ + \vec{b}.\vec{c}\ + \vec{c}.\vec{a})=0\)

\(\Rightarrow 1 + 16 + 4 + 2(\vec{a}.\vec{b}\ + \vec{b}.\vec{c}\ + \vec{c}.\vec{a})=0\)

\(\Rightarrow 21 + 2(\vec{a}.\vec{b}\ + \vec{b}.\vec{c}\ + \vec{c}.\vec{a})=0\)

\(\Rightarrow 2(\vec{a}.\vec{b}\ + \vec{b}.\vec{c}\ + \vec{c}.\vec{a})=-21\)