यदि f: N → N एक फलन इस प्रकार है जिससे f(n) = n2 + n + 1 है, तो f(x) निम्न में से क्या है?

संकल्पना:

एकैक फलन/एकैकी फलन:

एक फलन f: A → B को एकैक फलन तब कहा जाता है, यदि A के अलग-अलग तत्वों की अलग-अलग छवि होती है या वे B के अलग-अलग तत्वों के साथ संबंधित होते हैं अर्थात् 

f (x1) = f (x2) ⇒  x1 = x2, ∀ x1, x2 ∈ A.

आंतरिक आच्छादक फलन:

किसी फलन f: A → B को आंतरिक आच्छादक फलन तब कहा जाता है यदि B में कम से कम एक ऐसा तत्व मौजूद होता है जिसमें A की पूर्व-छवि नहीं होती है, तो फलन f को आंतरिक आच्छादक फलन कहा जाता है। 

अर्थात् यदि फलन f की सीमा ⊂ फलन f का सह-डोमेन है, तो f आंतरिक आच्छादक फलन है। 

बहु-एक फलन:

किसी फलन f: A → B को बहु-एक फलन तब कहा जाता है, यदि A के दो (या दो से अधिक) अलग-अलग तत्वों में B के समान छवि होती है। 

आच्छादक फलन/आच्छादी फलन:

किसी फलन f: A → B को आच्छादक फलन तब कहा जाता है यदि B के प्रत्येक तत्व की कम से कम एक पूर्व-छवि A में होती है। 

अर्थात् यदि फलन f की सीमा = फलन f का सह-डोमेन है, तो f आच्छादक फलन है।

गणना:

दिया गया है: f: R → R एक फलन इस प्रकार है जिससे f(n) = n2 + n + 1 है। 

माना कि n₁ , n₂ ∈ N है। 

⇒ f(n₁) = n₁² + n₁ + 1 और f(n₂) = n₂² + n₂ + 1

यदि f(n1) = f(n2) अर्थात् n12 + n1 + 1 = n22 + n2 + 1  है, तो n₁ = n₂ है। 

इसलिए, दिया गया फलन एकैक फलन है। 

यदि f(n) = n2 + n + 1 = 1 है। 

⇒ n2 + n = 0

⇒ n (n + 1) = 0

⇒ n = 0 या - 1

लेकिन ना तो n = 0 ∉ N और ना ही n = - 1 ∉ N है। 

इसलिए, दिए गए फलन के सह-डोमेन में 1 मौजूद है जिसमें दिए गए फलन के डोमेन की पूर्व-छवि नहीं है। 

इसलिए, दिया गया फलन एक आंतरिक आच्छादक फलन है। 

अतः दिया गया फलन एकैक और आंतरिक आच्छादक फलन है।