द्रव्यमान m का कण इकाई लंबाई के एक-विमीय डिब्बे में परिबद्ध है। इस कण का तरंग फलन 0 ≤ x ≤ 1 के लिए ψ(x) = sin πx (1 + cos πx) तथा इस अंतराल के बाहर शून्य हैं। इस अवस्था में ऊर्जा प्रत्याशा मान है।

  1. h2
  2. h2
  3. h2
  4. h2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : h2

Detailed Solution

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संप्रत्यय:

1. ऊर्जा संकारक:

एक बॉक्स में कण के लिए एक आयाम में ऊर्जा (या हैमिल्टोनियन) संकारक इस प्रकार दिया गया है:

2. ऊर्जा का प्रत्याशा मान:

ऊर्जा का प्रत्याशा मान ⟨ E ⟩ इस प्रकार दिया गया है:

⟨ E ⟩ =

गणना -

1. तरंग फलन:

2. द्वितीय व्युत्पन्न:



सरलीकरण:

3. ψ(x) पर हैमिल्टोनियन का कार्य:

4. प्रत्याशा मान समाकल:

⟨ E ⟩ =

दिया गया नॉर्मलाइज़्ड तरंग फलन ψ(x) अनंत विभव कुएँ के आइगेनफंक्शन का एक रैखिक संयोजन है।

एक अनंत विभव कुएँ के लिए, आइगेनफंक्शन हैं

ऊर्जा आइगेनमानों के साथ

दिए गए तरंग फलन की तुलना करना:



यह पहले और दूसरे आइगेनस्टेट्स के सुपरपोजिशन के समतुल्य है।

गुणांक और नॉर्मलाइज़ेशन यह सुनिश्चित करते हैं कि यह तरंग फलन एक उचित आइगेनस्टेट मिश्रण है।

ऊर्जा गणना:

समरूपता और आइगेनफंक्शन की ऑर्थोगोनलिटी द्वारा, ऊर्जा का प्रत्याशा मान ⟨ E ⟩ आइगेनमानों का भारित योग है:

⟨ E ⟩ =

दिया गया:

भार a1, a2 नॉर्मलाइज़ेशन से पाए जाते हैं। ज्ञात समाकलों का उपयोग करके सरलीकरण करने पर, हमें सही भारित योग प्राप्त होता है।

अंत में, इस विशेष समस्या के लिए परिणाम (हल करके) प्रत्याशा मान

इसलिए, सही उत्तर (2) है।

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