নীচের কোন ফাংশনটি উৎপত্তিস্থলে অবিচ্ছিন্ন নয়?

ধারণা :

• একটি ফাংশন একটি প্রদত্ত মানতে অবিচ্ছিন্ন বলা হয় যদি ফাংশনের সেই মানটিতে হঠাৎ পরিবর্তন না হয়।
• যদি দুটি ফাংশন পৃথকভাবে অবিচ্ছিন্ন হয় তবে এটি যোগফলের পার্থক্য, গুণফলটিও অবিচ্ছিন্ন হবে।
• একটি ফাংশন x = a এ অবিচ্ছিন্ন থাকে
  যদি বামপক্ষ = ডানপক্ষ = f(a)
  অর্থাৎ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\)
• যদি f(x) এবং g(x) পৃথকভাবে অবিচ্ছিন্ন হয় তবে এটি f(x) ± g(x), f(x) ⋅ g(x) এবং \(\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\;;g\left( x \right) \ne 0\) অবিচ্ছিন্ন থাকবে।

গণনা:

বিকল্প (A):

ধরুন f(x) = sin x

গ্রাফ থেকে, উৎপত্তিতে অর্থাৎ x = 0, sin x অবিচ্ছিন্ন।

বিকল্প (B):

ধরুন g(x) = x

গ্রাফ থেকে উৎপত্তিস্থল অর্থাৎ x = 0

g(x) = x অবিচ্ছিন্ন।

বিকল্প (C):

ধরি, h(x) = x sin x

h(x) = g(x) ⋅ f(x)

যেহেতু f(x) এবং g(x) উৎপত্তিস্থলে পৃথকভাবে অবিচ্ছিন্ন, তাই h(x)ও অবিচ্ছিন্ন হবে।

বিকল্প (D):

চলুন \(h\left( x \right) = \frac{{\sin x}}{x} = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\)

যেহেতু sin x উৎপত্তিতে অবিচ্ছিন্ন এবং xও উৎপত্তিতে অবিচ্ছিন্ন এবং মান শূন্য।

অর্থাৎ \(h\left( x \right) = \frac{{\sin x}}{x}\)

উৎপত্তিস্থলে:

\(h\left( {x = 0} \right) = \frac{{\sin \left( 0 \right)}}{0} = \frac{0}{0}\) একটি অনির্ধারিত রূপ)

অতএব, আমরা এটি বলতে পারি।

h(x) উৎপত্তিস্থলে বিচ্ছিন্ন হবে কারণ x = 0 এ, h(x) অসংজ্ঞায়িত হবে।

সুতরাং, বিকল্প (D) সঠিক কারণ \(\frac{{\sin x}}{x}\) উৎপত্তিস্থলে বিচ্ছিন্ন।