General Term MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for General Term - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना

दिया गया है कि

[  उपयोग करके]

⇒

अतः विकल्प 4 सही है।

संप्रत्यय:

nवें पद की गणना के लिए समांतर श्रेढ़ी के सूत्र

प्रयुक्त सूत्र:

समांतर श्रेढ़ी का nवाँ पद, a_n = [a + (n - 1) × d]

जहाँ

a = प्रथम पद, d = सार्व अंतर, n = पदों की संख्या

गणना

दिया गया है a₉ = 0

⇒ a + 8d = 0

⇒ a = -8d

a₁₉ = a + 18d = -8d + 18d = 10d

2a₁₉ = 2(10d) = 20d

वह पद जो 20d के बराबर है

⇒ a + (n-1)d = 20d

⇒ -8d + (n-1)d = 20d

⇒ (n-1)d - 8d = 20d

⇒ (n-1) - 8 = 20

⇒ n-1 = 28 ⇒ n = 29

∴ विकल्प 2 सही है। 

संप्रत्यय:

nवें पद की गणना के लिए समांतर श्रेढ़ी के सूत्र

प्रयुक्त सूत्र:

समांतर श्रेढ़ी का nवाँ पद a_n = [a + (n - 1) × d]

जहाँ

a = प्रथम पद, d = सार्व अंतर, n = पदों की संख्या

गणना

दिया गया है: a_n = 5n + 3,

⇒ a₂₁ = 5 × 21 + 3

⇒ a₂₁ = 105 + 3

⇒ a₂₁ = 108

इसलिए, अनुक्रम का 21वाँ पद 108 है।

∴ विकल्प 4 सही है। 

गणना:

a₆ = 2 ⇒ a + 5d = 2

a₁a₄a₅ = a(a + 3d)(a + 4d)

⇒ (2 - 5d)(2 - 2d)(2 - d)

⇒ f(d) = 8 - 32d + 34d² - 20d + 30d² - 10d³

⇒ f'(d) = -2(5d - 8)(3d - 2)

⇒

अतः विकल्प 2 सही है। 

गणना

20, 19, 18, 17, ..., -129

यह एक समांतर श्रेणी है जिसका सार्व अंतर है

⇒ d₁ =

, ..... 19, 20

यह भी एक समांतर श्रेणी है जहाँ a = और d =

अभीष्ट पद = + (20 - 1)

⇒ -129 - + 19 = -129 - + = -129 + = -129 + 14 = -115

इसलिए विकल्प (3) सही है। 

संकल्पना:

माना कि हम अनुक्रम a1, a2, a3 …. an एक समांतर श्रेणी है। 

• सार्व अंतर “d”= a2 – a1 = a3 – a2 = …. = an – an – 1

• समांतर श्रेणी के nवें पद को an = a + (n – 1) d द्वारा ज्ञात किया गया है। 
• पहले n पदों का योग = Sn = [2a + (n − 1) × d]= (a + l)

जहाँ, a = पहला पद, d = सार्व अंतर, n = पदों की संख्या, an = nवां पद और l = अंतिम पद 

गणना:

माना कि समांतर श्रेणी का पहला पद 'a' है और सार्व अंतर 'd' है। 

दिया गया है: एक समांतर श्रेणी का चौथा पद शून्य है। 

⇒ a₄ = 0

⇒ a + (4 - 1) × d = 0

⇒ a + 3d = 0         

∴ a = -3d                     .... (1)

ज्ञात करना है:​ 

संकल्पना:

माना कि अनुक्रम a₁, a₂, a₃ …. a_n समांतर श्रेणी में है। 

• सार्व अंतर “d”= a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = …. = a_n – a_{n – 1}

• समांतर श्रेणी के nवें पद को a_n = a + (n – 1) d द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

दी गयी श्रृंखला 2, 6, 10, ...,146 है। 

पहला पद,  = 2, अंतिम पद, a_n = 146, an

सार्व अंतर d = 4, इसलिए यह एक समांतर श्रेणी है। 

an = a + (n – 1) d

146 = 2 + (n - 1) (4)

⇒ n - 1 = 144/4

⇒ n = 36 + 1 = 37

इसलिए, दी गयी श्रृंखला में पदों की संख्या = 37 

मध्य पद =  (37 + 1)/2 = 19वां पद 

a₁₉ = 2 + (19 - 1) × 4

= 2 + 72 

= 74

अतः विकल्प (3) सही है। 

संकल्पना:

​समान्तर श्रेणी के nवां पद का सूत्र निम्नानुसार है: T_n = S_n - S_{n - 1}

जहां S_n, समान्तर श्रेणी के पहले n पदों का योग है और S_{n - 1}, समान्तर श्रेणी का पहला (n - 1) पद है

गणना:

दिया गया है कि: समान्तर श्रेणी के पहले n पदों का योग n² + n है

ज्ञात करना है: T6 =?

S_n = n2 + n

S₆ = 6² + 6 = 42

इसी प्रकार

S₅ = 5² + 5 = 30

अब,

Tn = Sn - Sn - 1

∴ T₆ = S₆ - S₅

= 42 - 30 

= 12

इसलिए, विकल्प (3) सही है।

संकल्पना:

माना कि अनुक्रम a1, a2, a3 …. an एक समांतर श्रेणी है। 

• सार्व अंतर “d”= a2 – a1 = a3 – a2 = …. = an – an – 1

• समांतर श्रेणी का nवां पद an = a + (n – 1) d द्वारा ज्ञात किया गया है। 
• पहले n पदों का योग = Sn = [2a + (n − 1) × d]= (a + l)

जहाँ, a = पहला पद, d = सार्व अंतर, n = पदों की संख्या, an = nवां पद और l = अंतिम पद 

गणना:

माना कि समांतर श्रेणी का पहला पद 'a' है और सार्व अंतर 'd' है। 

दिया गया है: एक समांतर श्रेणी का छठा पद शून्य है। 

⇒ a6 = 0

⇒ a + (6 - 1) × d = 0

⇒ a + 5d = 0         

∴ a = -5d                     .... (1)

ज्ञात करना है:​ 

अवधारणा:

A.P के n^वे  पद a, a + d , a + 2d,  . . . .  ,a + (n - 1) d है।

Tn = a + (n - 1) d

जहाँ a = पहला पद और d = सार्व अंतर

गणन:

तीन अंकों की संख्या जो 9 से विभाज्य है वे 108, 117, 126 . . . . 999 है

AP की श्रृंखला 108,117, 126 . . . . 999 है

जैसा कि हम जानते हैं कि, Tn = a + (n - 1) d

⇒ 999 = 108 + (n - 1) 9 

⇒ 891 = (n - 1) 9 

⇒ 99 = n - 1

⇒ n = 100.

सही विकल्प 3 है।

संकल्पना:

यदि a₁, a₂, ….,a_n एक AP बनाते हैं, तो AP का nवां पद निम्न द्वारा ज्ञात किया जाता है:

a_n = a + (n - 1) × d,

जहाँ a पहला पद है और d सार्व अंतर है।

गणना:

दो अंकों की वह संख्या जो 4 से विभाज्य हैं: 12, 16, 20, ..., 96

पहले पद a = 12,

सार्व अंतर d = 4 और

nवां पद a_n = 96 के साथ एक AP का निर्माण करते हैं।

⇒ a_n = a + (n - 1) × d = 96

⇒ 12 + (n - 1) × 4 = 96

संकल्पना:

माना कि हम अनुक्रम a1, a2, a3 …. an एक समांतर श्रेणी है। 

• सार्व अंतर“d”= a2 – a1 = a3 – a2 = …. = an – an – 1

• समांतर श्रेणी के nवें पद को an = a + (n – 1) d द्वारा ज्ञात किया गया है। 
• पहले n पदों का योग = Sn = [2a + (n − 1) × d]= (a + l)

जहाँ, a = पहला पद, d = सार्व अंतर, n = पदों की संख्या, an = nवां पद और l = अंतिम पद 

गणना:

समांतर श्रेणी 403, 397, 391 ..... के पद 

इसलिए, पहला पद = a = 403

सार्व अंतर = d = 397 - 403 = -6

ज्ञात करना है: पहला ऋणात्मक पद

माना कि nवां पद दिए गए समांतर श्रेणी का पहला ऋणात्मक पद है। 

अब,

समांतर श्रेणी में nवां पद = an = a + (n - 1) × d

= 403 + (n - 1) × -6

= 403 - 6n + 6

= 409 - 6n

अब, हमें n का उपयुक्त मान ज्ञात करना है, जिससे (409 - 6n) का मान ऋणात्मक है। 

माना कि हम n = 68 लेते हैं। 

a_n = 409 - 6 × 68 = 409 - 408 = 1

जो ऋणात्मक नहीं है। 

अब, n = 69 रखने पर, हमें निम्न प्राप्त  होता है

an = 409 - 6 × 69 = 409 - 414 = -5

यह श्रृंखला का पहला ऋणात्मक पद है। 

संकल्पना:

माना कि अनुक्रम a₁, a₂, a₃ …. a_n समांतर श्रेणी में है। 

• सार्व अंतर “d”= a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = …. = a_n – a_{n – 1}

• समांतर श्रेणी के nवें पद को a_n = a + (n – 1) d द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

माना कि एक समांतर श्रेणी का ‘a’ पहला पद है और ‘d’ सार्व अंतर है। 

अब, दिया गया mवां पद  = 1/n

और nवां = 1/m

a + (n-1) d = 1/m और 

a + (m - 1)d = 1/n

उपरोक्त दो समीकरणों को घटाने पर, हमें (m-1-n+1) d = 1/n – 1/m प्राप्त होता है,

⇒ (m - n)d = (m-n)/mn

⇒ d = 1/mn

अब, (mn)th term = a + (mn -1) d

= a + (mn-1) × 1/mn

= a + 1 – 1/mn  ……(1)

अब,

a + (n-1) d = 1/m

⇒ a = 1/m – (n-1)d

=1/m – (n-1) × 1/mn

= 1/m – 1/m + 1/mn

∴ a = 1/mn

(1) से,

(mn)th term = 1/mn + 1  - 1/mn

= 1

अतः विकल्प (3) सही है। 

अवधारणा:

समान्तर श्रेणी के n^वें पद a, a + d , a + 2d,  . . . .  ,a + (n - 1)d हैं।

Tn = a + ( n - 1 ) d 

जहां a = पहला पद और d = सार्व अंतर

गणना:

6 से विभाज्य तीन अंकों की संख्याएँ 102, 108, 114, ... 996 है।

समान्तर श्रेणी की श्रृंखला 102, 108, 114, ... 996 है।

जैसा कि हम जानते हैं कि, Tn = a + ( n - 1 ) d

⇒ 996 = 102 + ( n - 1 ) 6 

⇒ 894 = ( n- 1 ) 6

⇒ 149 = n - 1 

⇒ n = 150

सही विकल्प 4 है

प्रयुक्त सूत्र:

समान्तर श्रेणी का सूत्र:

an = a1 + (n – 1)d

जहाँ,

• an = nवाँ पद जो ज्ञात करना है
• a1 = अनुक्रम में पहला पद
• n = पदों की संख्या
• d = सार्व अंतर
• Sn = n पदों का योग

गणना:

प्रश्न के अनुसार

q = p + (3 - 1)d   

⇒ q = p + 2d    ----(1)

और 3 = p + (5 - 1)d 

⇒ 3 = p + 4d    ----(2)

(1) और (2) को हल करने पर हमें प्राप्त होता है

q = 3 - 2d

और p = 3 - 4d      [ (2) से]

प्रश्न के अनुसार pq न्यूनतम है

⇒  (3 - 4d) (3 - 2d) न्यूनतम है

⇒ (9 - 18d + 8d2) न्यूनतम है

d के संबंध में उपरोक्त समीकरण का अवकलन 0 है

⇒ -18 + 16d = 0 

⇒ d = 9/8 

∴ d का मान 9/8 है।