Classification of Second Order PDE MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Classification of Second Order PDE - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 2, 2025
Latest Classification of Second Order PDE MCQ Objective Questions
Classification of Second Order PDE Question 1:
इस PDE पर विचार करें
P(x, y)
जहां P तथा Q दो चरों तथा वास्तविक गुणांक वाले बहुपद हैं। निम्न में से कौन - सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Classification of Second Order PDE Question 1 Detailed Solution
Classification of Second Order PDE Question 2:
PDE
Answer (Detailed Solution Below)
Classification of Second Order PDE Question 2 Detailed Solution
स्पष्टीकरण:
दिया
(D2 + 2DD' + D'2)u = x
तो PI द्वारा दिया जाता है
PI =
=
=
=
=
इसके अलावा, PI को इस प्रकार दिया जा सकता है
PI =
=
=
=
=
=
तो हमें दो विशेष अभिन्न अंग मिल रहे हैं
अतः (4) सही है
Classification of Second Order PDE Question 3:
द्वितीय कोटि का आंशिक अवकल समीकरण uxx + xuyy= 0, ______ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Classification of Second Order PDE Question 3 Detailed Solution
अवधारणा:
द्वितीय- कोटि के गैर-सदृश आंशिक अवकल समीकरण (PDE) का सामान्य रूप निम्नलिखित है:
A(x, y)uxx + B(x, y)uxy + C(x, y)uyy + f(x, y, ux, uy) = F(x, y)
उपरोक्त आंशिक अवकल समीकरण (PDE) को कहा जाता है:
(i) दीर्घवृत्तीय यदि B2 - 4AC
(ii) परवलयिक यदि B2 - 4AC = 0 है।
(iii) अतिपरवलिक यदि B2 - 4AC > 0 है।
व्याख्या:
दिया गया PDE निम्नलिखित है:
uxx + xuyy= 0
सामान्य रूप से तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है:
A = 1, B = 0, C = x
इसलिए, B2 - 4AC = 0 - 4 × 1 × x = - 4x
इसलिए, x > 0 के लिए, B2 - 4AC
x = 0 के लिए, B2 - 4AC = 0 है, इसलिए PDE परवलयिक है।
विकल्प (1) सही है।
Classification of Second Order PDE Question 4:
निम्न आंशिक अवकल समीकरणों पर विचार करें
(i)
(ii)
निम्न कथनों में से कौन से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Classification of Second Order PDE Question 4 Detailed Solution
व्याख्या:
यहाँ, (i)
इसलिए A = 1, B = 2, C = 1 - sgn(y)
इसलिए
B2 - 4AC =
=
विकल्प (1) गलत है, विकल्प (2) सही है।
(ii) के लिए
A = y, B = 0, C = x
∴ B2 - 4AC = 0 - 4yx = -4xy
B2 - 4AC विभिन्न x और y के लिए विभिन्न चतुर्थांश में होगा
चतुर्थांश I और III में, x और y समान चिह्न के हैं ⇒ -4xy
जबकि चतुर्थांश II और IV में, x और y विपरीत चिह्न के हैं ⇒ -4xy > 0
⇒ B2 - 4AC > 0 इसलिए PDE II और IV में अतिपरवलयिक है
विकल्प (3) सही है विकल्प (4) गलत है
Classification of Second Order PDE Question 5:
निम्नलिखित में से कौन-सा आंशिक अवकलन समीकरण सभी
Answer (Detailed Solution Below)
Classification of Second Order PDE Question 5 Detailed Solution
अवधारणा:
द्वितीय कोटि के रैखिक आंशिक अवकल समीकरण का सामान्य रूप दिया गया है:
उपरोक्त समीकरण को निम्नलिखित के आधार पर परवलयिक, दीर्घवृत्ताकार और अतिपरवलयिक कहा जाता है:
- परवलयिक = B 2 – 4AC = 0
- दीर्घवृत्तीय = B 2 – 4AC
- अतिपरवलयिक = B 2 – 4AC > 0
गणना:
अब, विचार करते हैं:
विकल्प 1:
x= y =1 रखने पर, हमें
सामान्य समीकरण से तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है, A = 0, B = 1, C = 0
∴ B 2 – 4AC = 1 > 0 ⇒ अतिपरवलयिक
विकल्प 2:
x= y =1 रखने पर, हमें
सामान्य समीकरण से तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है, A = 1, B = - 2, C = 1
∴ B 2 – 4AC = 0 ⇒ परवलयिक
विकल्प 3:
x= y =1 रखने पर, हमें
सामान्य समीकरण से तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है, A = 1, B = 2, C = 1
∴ B 2 – 4AC = 0 ⇒ परवलयिक
विकल्प 4:
x= y =1 रखने पर, हमें प्राप्त होता है
सामान्य समीकरण से तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है, A = 1, B = - 2, C = 1
∴ B 2 – 4AC = 0 ⇒ परवलयिक
∴
सही उत्तर विकल्प 1 है।
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Classification of Second Order PDE Question 6:
निम्न आंशिक अवकल समीकरणों पर विचार करें
(i)
(ii)
निम्न कथनों में से कौन से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Classification of Second Order PDE Question 6 Detailed Solution
व्याख्या:
यहाँ, (i)
इसलिए A = 1, B = 2, C = 1 - sgn(y)
इसलिए
B2 - 4AC =
=
विकल्प (1) गलत है, विकल्प (2) सही है।
(ii) के लिए
A = y, B = 0, C = x
∴ B2 - 4AC = 0 - 4yx = -4xy
B2 - 4AC विभिन्न x और y के लिए विभिन्न चतुर्थांश में होगा
चतुर्थांश I और III में, x और y समान चिह्न के हैं ⇒ -4xy
जबकि चतुर्थांश II और IV में, x और y विपरीत चिह्न के हैं ⇒ -4xy > 0
⇒ B2 - 4AC > 0 इसलिए PDE II और IV में अतिपरवलयिक है
विकल्प (3) सही है विकल्प (4) गलत है
Classification of Second Order PDE Question 7:
इस PDE पर विचार करें
P(x, y)
जहां P तथा Q दो चरों तथा वास्तविक गुणांक वाले बहुपद हैं। निम्न में से कौन - सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Classification of Second Order PDE Question 7 Detailed Solution
Classification of Second Order PDE Question 8:
PDE
Answer (Detailed Solution Below)
Classification of Second Order PDE Question 8 Detailed Solution
स्पष्टीकरण:
दिया
(D2 + 2DD' + D'2)u = x
तो PI द्वारा दिया जाता है
PI =
=
=
=
=
इसके अलावा, PI को इस प्रकार दिया जा सकता है
PI =
=
=
=
=
=
तो हमें दो विशेष अभिन्न अंग मिल रहे हैं
अतः (4) सही है
Classification of Second Order PDE Question 9:
निम्नलिखित में से कौन-सा आंशिक अवकलन समीकरण सभी
Answer (Detailed Solution Below)
Classification of Second Order PDE Question 9 Detailed Solution
अवधारणा:
द्वितीय कोटि के रैखिक आंशिक अवकल समीकरण का सामान्य रूप दिया गया है:
उपरोक्त समीकरण को निम्नलिखित के आधार पर परवलयिक, दीर्घवृत्ताकार और अतिपरवलयिक कहा जाता है:
- परवलयिक = B 2 – 4AC = 0
- दीर्घवृत्तीय = B 2 – 4AC
- अतिपरवलयिक = B 2 – 4AC > 0
गणना:
अब, विचार करते हैं:
विकल्प 1:
x= y =1 रखने पर, हमें
सामान्य समीकरण से तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है, A = 0, B = 1, C = 0
∴ B 2 – 4AC = 1 > 0 ⇒ अतिपरवलयिक
विकल्प 2:
x= y =1 रखने पर, हमें
सामान्य समीकरण से तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है, A = 1, B = - 2, C = 1
∴ B 2 – 4AC = 0 ⇒ परवलयिक
विकल्प 3:
x= y =1 रखने पर, हमें
सामान्य समीकरण से तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है, A = 1, B = 2, C = 1
∴ B 2 – 4AC = 0 ⇒ परवलयिक
विकल्प 4:
x= y =1 रखने पर, हमें प्राप्त होता है
सामान्य समीकरण से तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है, A = 1, B = - 2, C = 1
∴ B 2 – 4AC = 0 ⇒ परवलयिक
∴
सही उत्तर विकल्प 1 है।
Classification of Second Order PDE Question 10:
द्वितीय कोटि का आंशिक अवकल समीकरण uxx + xuyy= 0, ______ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Classification of Second Order PDE Question 10 Detailed Solution
अवधारणा:
द्वितीय- कोटि के गैर-सदृश आंशिक अवकल समीकरण (PDE) का सामान्य रूप निम्नलिखित है:
A(x, y)uxx + B(x, y)uxy + C(x, y)uyy + f(x, y, ux, uy) = F(x, y)
उपरोक्त आंशिक अवकल समीकरण (PDE) को कहा जाता है:
(i) दीर्घवृत्तीय यदि B2 - 4AC
(ii) परवलयिक यदि B2 - 4AC = 0 है।
(iii) अतिपरवलिक यदि B2 - 4AC > 0 है।
व्याख्या:
दिया गया PDE निम्नलिखित है:
uxx + xuyy= 0
सामान्य रूप से तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है:
A = 1, B = 0, C = x
इसलिए, B2 - 4AC = 0 - 4 × 1 × x = - 4x
इसलिए, x > 0 के लिए, B2 - 4AC
x = 0 के लिए, B2 - 4AC = 0 है, इसलिए PDE परवलयिक है।
विकल्प (1) सही है।