Chain Rule MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Chain Rule - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

दिया गया है:

f(0) = -1 और f'(0) = 1 मान लीजिये h(x) = f(2f(x) +2) और g(x) = (h(x))2

⇒ g(x) = (h(x))²

⇒ g'(x) = 2(h(x)).h'(x)

⇒ g'(0) = 2(h(0)).h'(0)

= 2f(2f (0) + 2).2

= 2f(0).2 = (-2).2 = -4

∴ विकल्प (a) सही है

व्याख्या:

मान लीजिये कि f: (-1, 1)→ R एक अवकलनीय फलन है जहाँ f(0) = -1 और f'(0) = 1

⇒ h(x) = f(2f(x) + 2)

⇒ h'(x) = f'(2f(x) + 2)2f'(x)

⇒ h'(0) = f'(2f(0) + 2).2f'(0)

= f'(-2 + 2).2(1)

= f'(0).2 = (1).2 = 2

∴ विकल्प (d) सही है।

दिया गया है:

x के सापेक्ष sin(x² + 9) का अवकलन कीजिए।

प्रयुक्त सूत्र:

श्रृंखला नियम: यदि y = sin(u) और u = x² + 9 है, तब dy/dx = cos(u) x du/dx

गणना:

माना, y = sin(x² + 9)

⇒ dy/dx = cos(x2 + 9) × (d/dx)(x2 + 9)

⇒ dy/dx = cos(x2 + 9) × 2x

⇒ dy/dx = 2x cos(x2 + 9)

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।

दिया गया है:

x के सापेक्ष sin(x² + 9) का अवकलन कीजिए।

प्रयुक्त सूत्र:

श्रृंखला नियम: यदि y = sin(u) और u = x² + 9 है, तब dy/dx = cos(u) x du/dx

गणना:

माना, y = sin(x² + 9)

⇒ dy/dx = cos(x2 + 9) × (d/dx)(x2 + 9)

⇒ dy/dx = cos(x2 + 9) × 2x

⇒ dy/dx = 2x cos(x2 + 9)

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।

दिया गया है:

 y = 2x + x log x

अवधारणा:

सूत्र  का प्रयोग कीजिए। 

गणना:

 y = 2x + x log x

x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

= 2x log 2 + log x + 1

अतः विकल्प (4) सही है।

संकल्पना:

अवकलजों का शृंखला नियम:

।

= e^x

गणना:

यह दिया गया है कि y = ।

∴ y =

x के संबंध में दोनों पक्षों को अवकलित करके और श्रृंखला नियम का उपयोग करना, हमें मिलता है:

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

यदि f'(x) = g(x) और g'(x) = f(x2) है, तब f"(x2) 

दिया गया है f’(x) = g(x)

x के सन्दर्भ में पृथक्करण से हमें प्राप्त होता है

f’’(x) = g’(x)

f’’(x) = f(x²) 

फलन को x² से गुणा करने पर

f’’(x²) = f(x⁴)

अवधारणा:

अवकलन सूत्र

 = cos x 

 = - sin x

त्रिकोणमिति सूत्र

गणना:

दिया हुआ: y = sin (log cos x)

x के संबंध में अवकलन

 = 

= cos (log (cos x)). 

= cos (log (cos x)).  

= cos (log (cos x)).  .(- sin x)

= - cos (log (cos x)). 

= - cos (log (cos x)).tan x​​

 = - cos (log (cos x)).tan x

धारणा:

गणना:

दिया हुआ:

अब

इसलिए, विकल्प (3) सही है।

संकल्पना:​

 sin^-1 x = 

 tan^-1 x = 

श्रृंखला नियम (प्रतिस्थापन द्वारा अवकलन): यदि y, u का फलन है और u, x का फलन है। 

गणना:

माना कि u = 1 - x² है। 

 = - 2x

y = sin^-1(1 - x²) = sin^-1 u

=             

=  sin^-1 u × (-2x)

=  × (-2x)

 = 

= 

= 

अवधारणा:

अवकलन सूत्र

 = cos x 

​

गणना:

दिया हुआ:

=  

=    

=     

=      

=  ​ . 3 .

= ​

अवधारणा:

दिया हुआ:

u = और v =

गणना:

माना कि,

x = tan θ

फिर,

u = =

u = 2θ

2

तथा,

v = = =

v = 2θ

2

उसके बाद,

= 1

संकल्पना:

x के संबंध में sinx का अवकलज cosx  है। 

श्रृंखला नियम:

माना कि y = f(v), v का एक अवकलनीय फलन है और v = g(x), x का अवकलनीय फलन है, तो    है। 

गणना:

दिया गया फलन y = sin2(2x+5)  है। 

हम x के संबंध में फलन का अवकलन करते हैं। 

⇒  y' = [sin2(2x+5)]' 

चूँकि हम जानते हैं कि, 

⇒ y' = 2 sin(2x+5) ⋅ [sin(2x+5)]'

⇒  y' = 2 sin(2x+5) ⋅ cos(2x+5) ⋅ (2x+5)'

⇒ y' = 2 sin(2x+5).cos(2x+5).(2)

⇒ y' = 2 sin[2(2x+5)]                      (∴ sin2x = 2sinx.cosx)

⇒ y' = 2 sin(4x+10)

अतः विकल्प 4 सही है।    

गणना:

दिया हुआ है कि:

y = log[log{log(x)}] 

x के संबंध में अवकलन करने पर

⇒

दिया गया है:

 y = 2x + x log x

अवधारणा:

सूत्र  का प्रयोग कीजिए। 

गणना:

 y = 2x + x log x

x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

= 2x log 2 + log x + 1

अतः विकल्प (4) सही है।